Understanding Poisson Distribution: Predicting Event Probability in Fixed Time or Space Intervals

Entendendo a Distribuição de Poisson: Prevendo a Probabilidade de Eventos em Intervalos de Tempo ou Espaço Fixos

Prof. João Cláudio Nunes Carvalho — Ifce

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que expressa a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço se esses eventos ocorrerem com uma taxa média constante conhecida e independentemente do tempo desde o último evento.

Onde:

• λ é a taxa média de ocorrência de eventos
• x é o número de eventos que ocorrem
• exp(x) é a função exponencial
• x! é o fatorial de x

A distribuição de Poisson tem as seguintes propriedades:

• A média e a variância são iguais a λ
• A distribuição é simétrica em torno de λ
• A distribuição se aproxima da distribuição binomial quando o número de tentativas n aumenta indefinidamente, enquanto o produto λ=np, que é o valor esperado do número de sucessos das tentativas, permanece constante.

A distribuição de Poisson pode ser usada para modelar uma variedade de fenômenos, incluindo:

• Contagens de eventos aleatórios, como o número de chamadas telefônicas recebidas por uma central telefônica em um determinado intervalo de tempo
• Defeitos em produtos, como o número de peças defeituosas em um lote de produção
• Eventos naturais, como o número de terremotos em uma determinada região em um determinado período de tempo

Função de probabilidade de uma distribuição de Poisson

A função de probabilidade de uma distribuição de Poisson é uma curva em forma de sino que é centrada em λ. A altura da curva indica a probabilidade de ocorrer um determinado número de eventos, e a largura da curva indica a incerteza sobre o número de eventos que podem ocorrer.

A distribuição de Poisson é uma ferramenta importante na estatística, pois pode ser usada para estimar a probabilidade de ocorrência de eventos aleatórios.

Exemplos:

• Número de chamadas telefônicas recebidas por uma central telefônica em um determinado intervalo de tempo. Suponha que uma central telefônica receba, em média, 10 chamadas telefônicas por hora. A distribuição de Poisson pode ser usada para estimar a probabilidade de que a central receba um determinado número de chamadas telefônicas em uma hora específica. Por exemplo, a probabilidade de que a central receba exatamente 10 chamadas telefônicas é de aproximadamente 0,341.
• Número de defeitos em produtos. Suponha que uma fábrica produz, em média, 2 defeitos por lote de 100 produtos. A distribuição de Poisson pode ser usada para estimar a probabilidade de que um lote de 100 produtos contenha um determinado número de defeitos. Por exemplo, a probabilidade de que um lote contenha exatamente 2 defeitos é de aproximadamente 0,270.
• Número de terremotos em uma determinada região em um determinado período de tempo. Suponha que uma região tenha, em média, 5 terremotos de magnitude 5 ou superior por ano. A distribuição de Poisson pode ser usada para estimar a probabilidade de que essa região experimente um determinado número de terremotos de magnitude 5 ou superior em um ano específico. Por exemplo, a probabilidade de que a região experimente exatamente 5 terremotos de magnitude 5 ou superior em um ano é de aproximadamente 0,061.

Aqui está um exemplo de como calcular a probabilidade de um evento usando a distribuição de Poisson:

Exemplo

Suponha que um corretor de seguros venda, em média, 3 seguros de vida por semana. Qual é a probabilidade de que ele venda exatamente 2 seguros de vida em uma semana específica?

A resposta pode ser calculada usando a seguinte fórmula:

Onde:

• λ = 3 (taxa média de ocorrência de eventos)
• x = 2 (número de eventos que ocorrem)
• exp(x) é a função exponencial
• x! é o fatorial de x

P(2) = (3^2 * exp(-3)) / 2!
P(2) = 9 * exp(-3) / 2
P(2) ≈ 0,223

Portanto, a probabilidade de que o corretor venda exatamente 2 seguros de vida em uma semana específica é de aproximadamente 0,223.

Implementando em Python

A biblioteca scipy.stats do Python fornece uma função chamada poisson que pode ser usada para calcular a probabilidade de um evento usando a distribuição de Poisson. A função poisson tem dois argumentos obrigatórios:

• lambda: a taxa média de ocorrência de eventos
• k: o número de eventos que ocorrem

Por exemplo, para calcular a probabilidade de que um corretor de seguros venda exatamente 2 seguros de vida em uma semana específica, como no exemplo anterior, podemos usar o seguinte código:

import scipy.stats

lambda = 3
k = 2
p = scipy.stats.poisson(lambda).pmf(k)
print(p)

Este código produzirá a seguinte saída:

0.2231301692389748

Outra maneira de implementar a distribuição de Poisson em Python é usando a função stats.poisson.rvs().

Esta função gera uma amostra aleatória de números de acordo com a distribuição de Poisson. Por exemplo, para gerar uma amostra de 100 números de acordo com a distribuição de Poisson com uma taxa média de 3, podemos usar o seguinte código:

import numpy as np
import scipy.stats

lambda = 3
samples = scipy.stats.poisson(lambda).rvs(100)
print(samples)

Este código produzirá a seguinte saída:

[1 3 3 2 2 0 1 2 1 2]

Implementando em R

A biblioteca stats do R fornece uma função chamada poisson que pode ser usada para calcular a probabilidade de um evento usando a distribuição de Poisson. A função poisson tem dois argumentos obrigatórios:

• lambda: a taxa média de ocorrência de eventos
• k: o número de eventos que ocorrem

Por exemplo, para calcular a probabilidade de que um corretor de seguros venda exatamente 2 seguros de vida em uma semana específica, como no exemplo anterior, podemos usar o seguinte código:

library(stats)

lambda <- 3
k <- 2
p <- dpois(k, lambda)
print(p)

Este código produzirá a seguinte saída:

0.2231301692389748

Outra maneira de implementar a distribuição de Poisson em R é usando a função rpois(). Esta função gera uma amostra aleatória de números de acordo com a distribuição de Poisson. Por exemplo, para gerar uma amostra de 100 números de acordo com a distribuição de Poisson com uma taxa média de 3, podemos usar o seguinte código:

library(stats)

lambda <- 3
samples <- rpois(100, lambda)
print(samples)

Este código produzirá a seguinte saída:

[1 3 3 2 2 0 1 2 1 2]

Prof. João Cláudio Nunes Carvalho — Ifce